Введение в теорию программирования. Функциональный подход
Теория типов и комбинаторная логика
Рассмотрим построение системы типизации на основе комбинаторной логики.
В математике принято называть типами (или, иначе, сортами) относительно устойчивые и независимые совокупности элементов, которые можно выделить во всем рассматриваемом множестве (предметной области). Заметим, что разделение элементов предметной области на типы или сорта во многом является условным и носит субъективный характер, т.к. зависит от эксперта в этой области.
Тип, подобно множеству, может определяться двояко.
Во-первых, возможно определение типа посредством явного перечисления всех элементов, принадлежащих типу (заметим, что такой подход применяется и в математике, и в программировании, где существуют так называемые перечислимые типы).
Другим способом определения типа T является формализация общих свойств тех элементов d из предметной области D, которые объединяются в этот тип, посредством задания индивидуализирующей предикатной функции Y, значение которой истинно, если элемент принадлежит данному типу и ложно в противном случае:
T = {d: D|?}.
При более формальном подходе к теории типов и типизации в связи с исчислением ламбда-конверсий следует определить чистую систему типов.
Чистой системой типов называется семейство ламбда-исчислений, в которых каждый элемент характеризуется тройкой
<S, A, R>,
где:
S - подмножество констант, называемых сортами;
A - множество аксиом вида c:s, где с является константой, а s является сортом;
R - множество троек сортов, определяющих возможные функциональные пространства и их сорта для системы.
Далее введем обозначение, характеризующее то обстоятельство, что тот или иной объект является типизированным, или, иначе говоря, что тому или иному объекту приписан тип.
В частности, для ламбда-терма M приписывание ему типа T обозначим как
#M ||- T
и будем в таком случае говорить, что ламбда-терм M имеет тип T.
При более общем подходе, который верен и для математики, и для программирования, система типов формируется следующим образом.
Во-первых, задается множество базисных типов (обозначим их символами d1
